Để Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m trước tiên cùng tìm hiểu phương trình bậc 2 và những kiến thức liên quan trong chương trình toán học trung học cơ sở. Các bạn học sinh và quý thầy cô và phụ huynh cùng tham khảo nhé.
1. Phương trình bậc 2 là gì?
Phương trình bậc 2 là phương trình có dạng:
ax2+bx+c=0 (a≠0), được gọi là phương trình bậc 2 với ẩn là x.(1)
Nhiệm vụ là phải giải phương trình trên để đi tìm giá trị của x sao cho khi thay x vào phương trình (1) thì thỏa mãn ax2+bx+c=0.
2. Cách giải phương trình bậc 2
Cách giải phương trình bậc 2 như sau:
Bước 1: Tính Δ=b2-4ac
Bước 2: So sánh Δ với 0
Khi:
- Δ < 0 => phương trình (1) vô nghiệm
- Δ = 0 => phương trình (1) có nghiệm kép x=-b/2a
- Δ > 0 => phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Nghiệm của phương trình bậc 2
3. Định lý Viet và ứng dụng trong phương trình bậc 2
Cho phương trình bậc 2: ax2+bx+c=0 (a≠0). Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2, lúc này hệ thức sau được thỏa mãn:
Định lý Viet
Dựa vào hệ thức trên ta có thể tính biểu thức đối xứng x1,x2 thông qua định lý Viet.
- x1+x2=-b/a
- x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(b2-2ac)/a2
Định lý Viet đảo giả sử như tồn tại 2 số thực x1, x2 thỏa mãn x1+x2=S, x1x2=P thì x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình x2-Sx+P=0
4. Một số ứng dụng thường gặp của định lý Viet trong giải phương trình bậc 2
4.1. Mẹo nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 nhanh
Ta có cách tính nhanh nghiệm của phương trình bậc 2 ax2+bx+c=0 (a≠0) như sau:
- Nếu a+b+c=0 thì nghiệm x1 = 1, x2 = c/a
- Nếu a-b+c=0 thì nghiệm x1 = -1, x2 = -c/a
4.2. Phân tích đa thức thành nhân tử
Cho đa thức P(x)=ax2+bx+c
- Nếu x1 và x2 là nghiệm của phương trình P(x)=0
- Thì đa thức P(x)=a(x-x1)(x-x2)
4.3. Xác định dấu của các nghiệm
Cho phương trình ax2+bx+c=0 (a≠0),
Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình trên. Theo định lý Viet, ta có:
- Nếu S<0, x1 trái dấu x2 .
- Nếu S>0, x1 cùng dấu x2
- P>0, cả hai nghiệm cùng dương.
- P<0, cả hai nghiệm cùng âm.
5. Dạng bài tập về phương trình bậc 2
5.1. Dạng bài tập phương trình bậc 2 một ẩn không xuất hiện tham số
Để giải bài tập dạng này cách phổ biến nhất là dùng công thức Δ hoặc Δ’ sau đó áp dụng điều kiện và công thức như đã nêu ở mục 2. để giải.
Ví dụ: Giải các phương trình x2-3x+2=0 (*)
- ta có: Δ=(-3)2-4.2=1
- suy ra nghiệm của phương trình là:
Hai nghiệm của phương trình (*)
5.2. Phương trình khuyết hạng tử.
5.2.1. Khuyết hạng tử bậc nhất ax2+c=0 (1)
Cách giải:
- Nếu -c/a>0, nghiệm là:
- Nếu -c/a=0, có nghiệm x=0
- Nếu -c/a<0, phương trình vô nghiệm.
5.2.2. Khuyết hạng tử tự do ax2+bx=0 (2)
Ví dụ 2: Giải phương trình x2-4=0
ta có:
x2-4=0 ⇔ x2=4 ⇔ x=2 hoặc x=-2
5.3. Phương trình trùng phương: ax4+bx2+c=0 (a≠0)
Cách giải:
- Đặt t=x2 (t≥0).
- Phương trình đã cho có dạng: at2+bt+c=0
- Giải như phương trình bậc 2 bình thường, điều kiện t≥0
5.3.Dạng Phương trình bậc 2 có tham số
Phương pháp giải biện luận số nghiệm của phương trình ta sử dụng công thức tính Δ, dựa vào dấu của Δ để biện luận nghiệm của phương trình.
Ví dụ: Giải và biện luận phương trình mx2-5x-m-5=0 (1)
Cách giải:
- Xét m=0, lúc này (1) ⇔ -5x-5=0 ⇔ x=-1
- Xét m≠0, lúc này (1) là phương trình bậc 2 theo ẩn x.
- Δ= (-5)^2 -4m(-m-5) = (2m+5)^2
- Vì Δ≥0 nên phương trình luôn có nghiệm:
- Δ=0 ⇔ m=-5/2, phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
- Δ>0 ⇔ m≠-5/2, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
Hai nghiệm của phương trình bậc 2
Xác định điều kiện tham số để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài trước tiên phương trình bậc 2 cần có nghiệm. Các bước giải như sau:
- Tính Δ, sau đó tìm điều kiện để Δ không âm.
- Dựa vào định lý Viet, ta có được cách tính các hệ thức giữa tích và tổng, từ đó biện luận nghiệm theo yêu cầu của đề bài.
Điều kiện và các trường hợp biện luận nghiêm
Ví dụ: Cho pt x^2 – (m-2)x +m-4=0 (x ẩn ; m tham số )
- a) chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Xét Δ = (m- 2)^2- 4*(m- 4)= m^2- 4m+ 4- 4m+ 16= m^2- 8m+ 20= (m- 4)^2+ 4>= 4
Δ >= 4> 0 với mọi m => pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
- b) Tìm giá trị của m để phương trình có 2 ng đối nhau
- phương trình có hai nghiệm đối nhau khi <=> x1+ x2= 0 <=> m- 2= 0 =>m=2
- Vậy với m= 2 phương trình có 2 nghiệm đối nhau
Ví dụ: Cho phương trình x^2-2mx+4m-4=0.
- a) chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
- b) Goi x1và x2 là hai nghiệm của phương trình. tìm m để 3x1x2+5 =x1^2-x2^2
Cách giải
- a) Ta có:
- Δ’= m^2 – (4m-4) = m^2-4m+4 = (m-2)^2 ≥ 0
- ⇔ phương trình luôn có nghiệm với mọi m thuộc R
- b) Theo định lý Viet
x1+x2 = 2m (*)
x1x2=4m-4 (*)
⇔ 3x1x2 + 5= -x1^2 – x2^2 ⇔ 3x1x2 + 5 = -(x1+x2)^2 + 2x1x2
⇔ (x1+x2)^2 + x1x2 + 5=0 (**)
ta thay phương trình (*) và phương trình (**) sẽ ra phương trình bậc 2 ẩn m và giải như bình thường.
Kết luận
Trên đây là tổng hợp những kiến thức cơ bản của phương trình bậc 2 và phương pháp chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m. Mong rằng những thông tin trên sẽ giúp ích cho các bạn học sinh và quý thầy cô tham khảo trong học tập và giảng dạy.
